Home本研究成果のポイント
〇 一様な媒质内にある异物（空洞、介在物）を波の反射を利用して探査する逆问题に対して、囲い込み法と呼ばれる数学的な手法により理论解析を行った。
〇 先行研究では、空洞や介在物が复数个あったとしても种类は一种类のみという限定された场合しか扱っていなかった。本研究では、复数の种类の空洞や介在物が混在している「混在型媒质」における逆问题を考察した。摆贵颈驳.1闭
〇 媒质内の异物は指示関数の符号によって2种类に分けられる。指示関数を异なる符号にするような空洞が混在する场合に、空洞の位置、形状、种类と指示関数の主要项との関係を明らかにした。
概 要
入射波と反射波の组から成る観测データを利用して异物推定を行うという问题は逆问题の中の「再构成」と呼ばれるものになる。逆问题は実社会において非破壊検査として频繁に扱われており、実用的な研究と数学的観点からの理论的考察の両方が求められている。この问题を微分方程式论における弱微分による定式化を利用した「囲い込み法」（1999年に池畠优氏（现?本学名誉教授）考案）を用いて考察した。&苍产蝉辫;
逆问题においては、観测データから计算される「指示関数」と呼ばれる実数値関数が自然に导入される。囲い込み法における指示関数の基本的な性质として、観测地点と异物の各点を结ぶ线分に対する最短の长さを取り出せることが分かっている。また、指示関数は空洞や介在物の种类によりプラスになったりマイナスになったりする。これらの性质を利用すれば、観测地点から异物までの最短距离とその异物の符号による种类分けが得られる。一方で、复数种类の空洞や介在物が混在すれば、符号の相杀が起きて情报が得られない可能性もある。そのため、先行研究では空洞や介在物は复数个あっても一种类のみしかないということが先见情报として仮定されていた。この研究では上记の先见情报がない场合について调べ、次を得た。
(1) 指示関数を正（負）にする異物を正（負）の異物と呼ぶ。まず、観測地点から各異物までの最短距離が一致しないことがあらかじめ分かっている場合について検討した。その結果、位置と符号に関する情報は、単一の種類の標的のみを考慮した従来の研究で用いられたのと同じ解析手法を用いて得られることを示した。（論文情報[1]）
(2) 正の異物と負の異物が観測地から同じ最短距離にあるときは、[1]の方法では対処できない。異物が空洞のみの場合は、漸近解を利用してこの問題に応じた近似解を構成することにより、指示関数の漸近挙動における主要項の形を完全に決定できた（論文情報[2]）。Dirichlet境界条件をもつ空洞は負の異物で、Neumann境界条件を持つ空洞は正の異物であることが知られている。一例としてこれらが観測点から同じ最短距離にある場合、最短距離を与える空洞境界の点における曲率が小さい方が指示関数の挙動を決めていることが明らかになった。[Fig.2]
[Fig.1]
[Fig.2]
【论文情报】
[1] Kawashita, M. and Kawashita, W., Inverse problems of the wave equation for media with mixed but separated heterogeneous parts, Math. Meth. Appl. Sci. (2025) 48 No. 4, 4144-4172 (https://doi.org/10.1002/mma.10537).
[2] Kawashita, M. and Kawashita, W., Asymptotic behavior of the indicator function in the inverse problem of the wave equation for media with multiple types of cavities, Phys. Scr., (2024) 99 No.11, https://doi.org/10.1088/1402-4896/ad6fe2
